Théorème de Pick

Soit un polygone construit sur une grille de points équidistants tel que tous ses sommets soient des points de la grille ; le théorème de Pick apporte une formule simple pour calculer l'aire A de ce polygone en se servant du nombre i de points intérieurs du polygone...



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  • On sert à désigner par I le nombre de points du réseau maillé qui sont strictement... On suppose que le théorème de Pick est vrai séparément pour le polygone P et ... (source : diophante)
polygone construit sur une grille de points équidistants

Soit un polygone construit sur une grille de points équidistants[1] tel que tous ses sommets soient des points de la grille ; le théorème de Pick apporte une formule simple pour calculer l'aire A de ce polygone en se servant du nombre i de points intérieurs du polygone et du nombre b de points du bord du polygone :

A = i + \frac{1}{2}°- 1\,.

Dans l'exemple ci-dessus, nous avons i = 9 et b = 14, ainsi, l'aire est A = 9 + \frac{1}{2}4) - 1 = 9 + 7 - 1 = 15\, (unités carrées).

Cette formule est si simple qu'elle peut être correctement utilisée par des enfants de l'école élémentaire, en dessinant des figures sur les carrés du sol ou des murs, ou en étirant des élastiques avec des chevilles.

Le théorème tel qu'énoncé ci-dessus est uniquement valide pour les polygones simples, c'est-à-dire ceux constitués d'une pièce et qui ne contiennent pas de "trous". Pour des polygones plus généraux, le "- 1" de la formule serait remplacé par "- \chi(P)\,", où \chi(P)\, est la caractéristique d'Euler de P.

Ce résultat fut énoncé en premier par Georg Alexander Pick en 1899. Il peut être généralisé en trois dimensions et plus par les polynômes d'Ehrhart. La formule se généralise aussi aux surfaces de polyèdres.

  1. c'est-à-dire des points de coordonnées entières

Démonstration

Considérons un polygone P et un triangle T avec un côté en commun avec P. Supposons que le théorème de Pick soit vrai pour P; nous voulons montrer qu'il est vrai aussi pour le polygone PT obtenu en ajoutant T à P. Puisque P et T partagent un côté, l'ensemble des points de bord le long du côté en commun sont fusionnés avec les points intérieurs, excepté pour les deux points extrêmes du côté, qui sont fusionnés avec les points de bord. Ainsi, en appelant le nombre de points de bord en commun c, nous avons

i_{PT} = (i_P + i_T) + (c - 2)\, et
b_{PT} = (b_P + b_T) - 2(c - 2) - 2\,.

De ce qui précède, il suit :

(i_P + i_T) = i_{PT} - (c - 2)\, et
(b_P + b_T) = b_{PT} + 2(c - 2) + 2\,.

Puisque nous supposons le théorème vrai pour P et pour T séparément,

A_{PT} = A_P + A_T\,
= i_P + \frac{1}{2}b_P - 1 + i_T + \frac{1}{2}b_T - 1\,
= (i_P + i_T) + \frac{1}{2}(b_P + b_T) - 2\,
= i_{PT} - (c - 2) + \frac{1}{2} (b_{PT} + 2(c - 2) + 2) - 2
= i_{PT} + \frac{1}{2}b_{PT} - 1\,.

Donc, si le théorème est vrai pour les polygones fabriqués à partir de n triangles, le théorème est aussi vrai pour les polygones fabriqués à partir de n + 1 triangles. Pour finir la démonstration par récurrence, il reste à montrer que le théorème est vrai pour les triangles. La vérification dans ce cas peut être faite par étapes :

La dernière étape utilise le fait que si le théorème est vrai pour le polygone PT et pour le triangle T, alors il est vrai aussi pour P ; ceci peut être vu par un calcul particulièrement comparable à celui montré ci-dessus.

Pour démontrer, nous montrerons en premier que le théorème de Pick possède un caractère additif. Supposons que notre polygone possède plus que 3 sommets. Alors, nous pouvons le diviser en 2 polygones P_1\, et P_2\, tels que leur intérieur ne se réunissent pas. Les deux ont moins de sommets que P. Nous voulons que la validité du théorème de Pick soit équivalente à la validité du théorème de Pick pour P_1\, et P_2\,.

Notons l'aire, le nombre de points du réseau interne et le nombre de points du réseau du périmètre pour P_k\, par A_k\,, I_k\, et O_k\,, respectivement, pour k = 1, 2.

De façon claire, A = A_1 + A_2\,.

Ainsi, si nous notons le nombre de points du réseau sur les côtés en commun de P_1\, et P_2\, par L, alors

I = I_1 + I_2 + L - 2\,

et

O = O_1 + O_2 -2L + 2\,.

Donc

I + \frac{1}{2}O - 1 = I_1 + I_2 + L - 2 + \frac{1}{2}O_1 + \frac{1}{2}O_2 - L + 1 - 1\,
= I_1 + \frac{1}{2}O_1 -1 + I_2 + \frac{1}{2}O_2 -1\,.

Ceci prouve notre but. Donc, nous pouvons trianguler P et cela suffit à prouver le théorème de Pick.

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La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 11/11/2010.
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