Longueur d'un arc

En géométrie, la question de la longueur d'un arc est simple à concevoir. L'idée d'arc correspond à celle d'une ligne, ou d'une trajectoire d'un point dans un plan ou l'espace par exemple.



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Courbe - Distance et longueur - Grandeur physique - Métrologie - Calcul des variations - Géométrie riemannienne

Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • Intuitivement, la longueur d'une courbe ou d'un arc (portion) de courbe est la longueur de ficelle qu'il faudrait dérouler pour la parcourir totalement. (source : techno-science)
  • Pour calculer la longueur d'un arc de cercle il est indispensable de connaître son rayon de courbure (égal au rayon du cercle qui lui sert de support) et la... (source : mathsgeo)
Pour une introduction à cette notion, consulter l'article : Périmètre.
Camille Jordan est l'auteur de la définition la plus courante de la longueur d'un arc.

En géométrie, la question de la longueur d'un arc est simple à concevoir (intuitive). L'idée d'arc correspond à celle d'une ligne, ou d'une trajectoire d'un point dans un plan ou l'espace par exemple. Sa longueur peut être vue comme la distance parcourue par un point matériel suivant cette trajectoire ou encore comme la longueur d'un fil prenant précisément la place de cette ligne. La longueur d'un arc est , soit un nombre positif, soit l'infini.

Un vieil exemple est celui du demi-cercle de rayon r, où r sert à désigner un nombre réel positif. Sa longueur est égale à πr. Un exemple, plus simple, est donné par un segment, sa longueur est égale à la distance qui sépare ses deux extrémités.

Selon l'époque, différentes méthodes permettent de définir et de mesurer la longueur d'un ensemble d'arcs de plus en plus vaste. Eudoxe de Cnide, un mathématicien grec du IVe siècle av. J. -C. , puis Archimède utilisent une méthode, dite d'exhaustion pour calculer celle d'un arc de cercle. La physique de la fin du XVIIe siècle développe une nouvelle approche, fondée sur les progrès réalisés en mécanique du point grâce surtout au calcul illimitétésimal appliqué à l'astronomie. La longueur d'un arc est perçue comme le produit du temps indispensable à un point matériel pour parcourir l'arc par sa vitesse, si elle est supposée constante. Cette définition est généralisée par Bernhard Riemann et devient la pièce maîtresse pour construire une distance sur de nouvelles géométries, désormais nommées variétés riemanniennes.

Pour le mathématicien français Camille Jordan (1838 - 1922) , ces définitions sont trop restrictives. Il s'intéresse aux propriétés d'une courbe fermée, c'est-à-dire un arc dont le point d'origine se confond avec le point final. La définition précédente, issue de la physique deux siècles plus tôt, suppose que l'arc soit dérivable. Cette limitation empêche l'usage d'un vaste arsenal de méthodes, néenmoins indispensables à la résolution de nombreuses questions. Il propose une nouvelle définition, avec une limite supérieure et de la longueur d'une ligne polygonale. C'est désormais celle la plus couramment utilisée. Pour Hermann Minkowski (1864-1909) , les idées de Jordan sont peu adaptées à ses besoins. Dans le contexte des questions qu'il se pose, la longueur qu'il cherche à définir est en particulier celle de la frontière d'une surface. Un cercle est défini comme la totalité des points P d'un disque tels que tout voisinage de P contient un point du disque et un point extérieur. Il définit la longueur avec la notion intuitive de tube, correspondant à la totalité des points localisés à une distance inférieure à r d'un point de l'arc. Cette définition se prête à de nombreuses généralisations, qui permettent même de donner un sens à la longueur d'une courbe fractale.

Premiers calculs

Article détaillé : Méthode d'exhaustion.
Le mathématicien chinois Liu Hui utilise la méthode d'exhaustion pour le calcul de π.

L'une des mesures de longueur la plus célèbre et la plus ancienne est celle d'un demi arc de cercle de rayon 1. Cette longueur, notée π est calculée depuis bien longtemps. Pour les babyloniens, sa valeur se calcule grâce à la relation qui relie l'aire du cercle avec le périmètre du demi-arc, il trouve l'approximation 3 + 1/8[1].

Un progrès théorique important est l'œuvre d'Archimède[2]. Pour le physicien, un polygone convexe dont les sommets sont des points du cercle est de périmètre plus petit que celui du cercle. En effet, il est plus court, pour rejoindre deux sommets consécutifs de passer par l'arête (le segment est le plus court chemin entre ses deux points d'extrémités), ce qui donne une minoration de π. Inversement, le polygone convexe régulier dont chaque milieu d'arête est un point du cercle est de périmètre plus grand. S'il ne peut démontrer cette proposition généralement car il ne dispose pas d'une définition de la longueur d'un arc qui lui permettrait de réaliser cette prouesse, elle semble intuitive à l'œil, et résulte (dans le cas du cercle) de la proportionnalité entre les aires de secteurs circulaires et les arcs qui les sous-tendent. Avec un polygone régulier de 96 côtés, il démontre que la valeur de π se situe entre 3 + 1/7 et 3 + 10/71. Le principe du calcul est donné dans l'article pi.

La méthode est générale pour tout arc dont la convexité se situe toujours du même côté, c'est-à-dire dont l'arc n'est composé que de points frontières de l'enveloppe convexe. Tout ligne polygonale, dont les sommets sont localisés sur l'arc, possède une longueur plus petite que celle de l'arc étudié. On dispose ainsi d'un minorant. On peut alors construire une suite de lignes polygonales de longueurs croissantes (pn) toutes plus petites que la longueur de l'arc. On construit ensuite une suite de lignes polygonales hors de l'enveloppe convexe, dont les extrémités sont ceux de la ligne polygonale et qui longent de plus en plus exactement l'arc. La suite des longueurs (Pn) est choisie décroissante et chaque longueur est plus grande que celle de l'arc. Les seules valeurs envisageables, pour la longueur de l'arc, sont localisées dans le segment [pn, Pn]. La suite est construite de telle manière à ce que la distance entre pn et Pn soit de plus en plus petite à tel point que pour tout nombre strictement positif ε, il existe une valeur n tel que Pn - pn soit strictement plus petit que ε. L'intersection de l'ensemble des intervalles [pn, Pn] est réduit à un point, qui est obligatoirement la longueur de l'arc. Cette méthode est dite d'exhaustion.

Elle est utilisée par le mathématicien chinois Liu Hui durant le IIIe siècle avec des approximations plus performantes que celles d'Archimède. Il trouve la valeur approchée de π égale à 3, 1416[3]. Cette méthode reste en vigueur jusqu'à la fin du XVIIe siècle et sert à trouver d'autres résultats comme la longueur d'un arc de spirale logarithmique par Torricelli[4] en 1645 ou de cycloïde par Christopher Wren[5].

Arc de classe C1

Une approche cinématique

La longueur d'un arc parcouru à une vitesse f durant la période de longueur a est égale à l'aire en jaune sur la figure.

Le XVIIe siècle est celui de Galilée. La notion de vitesse instantanée prend un sens, et même deux. La vitesse est dans un premier temps un vecteur, celui qu'il faut multiplier par une durée a pour connaître la position d'un point se déplaçant de manière rectiligne uniforme au bout d'un délai a. C'est aussi un scalaire, celui qui indique la distance parcourue au bout de la durée a, dans le cas d'un déplacement uniforme. On parle de vitesse curviligne pour différencier cette grandeur de la vitesse vectorielle. La vitesse curviligne correspond à la norme du vecteur vitesse. Fréquemment, le terme de vitesse, utilisé dans le langage familier, correspond à la vitesse curviligne, par exemple dans l'expression vitesse de 80 km/h, qui correspond à un scalaire et non à un vecteur.

Cette définition permet une nouvelle manière d'appréhender la longueur d'un arc. Pour connaître cette longueur, il suffit de trouver une fourmi, supposée petite, se déplaçant toujours à une vitesse curviligne f constante, de lui faire parcourir l'arc. Si la durée du parcours de l'arc est égale à a, alors sa longueur est a. f. Si cette idée est fructueuse, elle demande à être aménagée. Modéliser le parcours d'un arc à vitesse constante est une question fréquemment plus complexe que le calcul de la longueur recherchée. Si la vitesse f est constante, la longueur peut être vue comme la surface d'un rectangle de longueur le temps a, indispensable pour parcourir l'arc et de hauteur f. Si la vitesse n'est pas constante, on remplace la droite y = f dans un repère cartésien par la ligne d'équation y = f (t), où t fluctue entre 0 et a. La longueur de l'arc est égale à l'aire localisée entre les trois droites x = 0, x = a, y = 0 et la ligne y = f (t). On trouve l'aire illustrée en jaune sur la figure de droite.

Cette nouvelle approche prend forme à travers l'étude de la parabole semi-cubique[6], d'équation cy2 = x3. Vers 1660, ce problème est célèbre et intéresse de nombreux mathématiciens. La question du calcul de la longueur d'un arc, qu'on appelait alors problème de rectification était à l'époque reconnu comme particulièrement complexe, voir fréquemment impossible. John Wallis publie la solution[7] en 1659 et en attribue la paternité à Neil. Une des raisons de la célébrité de la preuve est qu'elle débouche sur une valeur constructible à la règle et au compas, naissance d'un fol espoir de résolution de la quadrature du cercle. Cette solution est reproduite par Van Heuræt la même année avec une méthode de rectification de la parabole à l'aide du calcul de la quadrature d'une hyperbole[8]. Le problème de la quadrature d'une surface est celui consistant à déterminer son aire. En 1660 Pierre de Fermat généralise l'approche à toute courbe, qu'à l'époque on imagine comme toujours dérivable, au moins par morceau, même si la notion de dérivée n'est pas encore formalisée[9].

Le pas de géant est franchi entre 20 et 30 ans plus tard, Isaac Newton et Gottfried Leibniz découvrent le calcul illimitétésimal et le théorème essentiel de l'analyse, indiquant la relation entre la dérivée et l'intégrale. La longueur L d'un arc parcouru durant une période de a à une vitesse curviligne égale à f (t) à l'instant t est égale à :

L = \int_0ˆa f(t)dt \;

Définitions

Pour être précis, quelques définitions doivent être données. Ici, E sert à désigner un espace euclidien de dimension n et R la totalité des nombres réels. Pour définir une longueur, il est utile d'associer un sens précis au mot arc paramétré de classe Cp, si p est un entier positif :

Définition d'un arc paramétré —  Un arc paramétré de classe Cp est un couple (I, f) composée d'un intervalle I de R et d'une fonction de I dans un espace euclidien, p fois dérivable, dont la dérivée pième est continue et dont la dérivée première ne s'annule jamais. [10]

Demander à la dérivée première de ne jamais s'annuler permet d'éviter des singularités qui ne sont pas l'objet de cet article. Cette définition apporte à la fois l'arc et une manière de le parcourir. Pourtant, géométriquement, parcourir un arc rapidement ou lentement, dans un sens ou dans un autre, ne modifie pas la nature de l'arc. Pour cette raison, on définit une classe d'équivalence entre les arcs paramétrés :

Définition d'arcs Cp italiques — Soient (I, f) (J, g) deux arcs paramétrés à valeurs dans E. S'il existe un difféomorphisme θ de classe Cp de I dans J tel que goθ soit égal à f on dit que les deux arcs paramétrés sont Cp italiques. [11]

On parle aussi d'arcs équivalents au lieu d'arc Cp italiques. Avec cette définition, le parcours deux fois d'un cercle par un arc paramétré n'est jamais équivalent à un arc paramétré parcourant une seule fois le cercle. En effet, dans un cas tout point du cercle possède deux antécédents et dans l'autre cas un unique, un difféomorphisme ne peut exister. On peut désormais énoncer la définition d'un arc géométrique :

Définition d'un arc géométrique de classe Cp — Un arc géométrique est une classe d'équivalence d'arcs Cp italiques. [12]

Il devient envisageable de définir rigoureusement la longueur d'un arc géométrique :

Définition de la longueur d'un arc géométrique de classe Cp — La longueur d'un arc géométrique ayant pour représentant (I, f) est la valeur L de l'intégrale suivante, égale à un nombre positif ou à l'infini :

L = \int_I \|f'(t)\| dt

L'intégrale n'est pas obligatoirement finie car l'intervalle I n'est pas obligatoirement un segment. A titre d'exemple, si I est égal à R et f à la fonction qui à t associe exp (i. t) à valeurs dans les nombres complexes identifiés au plan euclidien, l'arc géométrique parcourt un nombre illimité de fois le cercle unité, sa longueur est illimitée.

Pour que la définition fasse sens, il est indispensable que les longueurs de deux arcs Cp italiques soient les mêmes. On le vérifie simplement. Si (I, f) et (J, g) sont deux arcs paramétrés Cp italiques et si le difféomorphisme θ vérifie goθ = f, alors l'intégration par changement de variable montre que :

L = \int_J \|g'(t)\| dt = \int_J \|\frac d{dt} (f\circ \theta)(t)\| dt = \int_J \|(f'\circ \theta)(t)\| \cdot |\theta'(t)|dt = \int_I \|f'(s)\| ds

Formulation

Le théorème de Pythagore offre une autre explication intuitive de la formule de la longueur d'un arc.

Si E sert à désigner un plan euclidien, la fonction f peut s'exprimer avec deux fonctions coordonnées, de I dans R, notées ici x (t) et y (t). Si les coordonnées s'expriment dans une base orthonormale et si ]a,  b[ sert à désigner l'intervalle I, la formule précédente devient :

L = \int_aˆb \sqrt {\left(\frac {dx}{dt}\right)ˆ2 + \left(\frac {dy}{dt}\right)ˆ2}\mathrm d t

Sous cette forme, la longueur de l'arc trouve une autre justification intuitive que celle de la vitesse. Soit t et dt deux réels positifs tel que t et t + dt soient éléments de I. Notons (x, y) les coordonnées de l'image de t et (x+dx, y+dy) celle de t + dt. Cette situation est illustrée sur la figure de droite. Si dt est suffisamment petit, la courbe est proche de son approximation tangente. Identifier entre ces deux valeurs du paramètre l'arc avec son approximation linéaire tangente au point t ramène le localement le calcul à celui de la longueur ds de l'hypoténuse d'un triangle rectangle, qui se calcule avec le théorème de pythagore :

ds \approx \|f(t+dt) - f(t)\| \approx \|f(t) + dtf'(t) - f(t)\| = \sqrt {\left(\frac {dx}{dt}\right)ˆ2 + \left(\frac {dy}{dt}\right)ˆ2}\mathrm d t

Il existe un cas spécifique courant, celui où la courbe est représentée par le graphe de l'équation y = f (x). Ici f sert à désigner une fonction de classe C1 d'un intervalle I à valeur dans R. Pour revenir à une situation plus proche de la précédente, on considère généralement que la courbe est représentée par l'arc paramétré (I, F) où F est la fonction de I dans R2 qui à t associe (t, f (t) ). En supposant toujours que ]a, b[ sert à désigner l'intervalle I, on obtient :

L=\int_aˆb \sqrt{1+f'(t)ˆ2} \mathrm dt

Il est quelquefois plus habile d'utiliser les coordonnées polaires pour exprimer l'arc paramétré, ce qui revient à utiliser les notations suivantes :

x=r(\theta)\cos\theta \quad\text{et}\quad y=r(\theta)\sin\theta

On en déduit :

\frac{\mathrm dx}{\mathrm d\theta}=r'(\theta)\cos\theta-r(\theta)\sin\theta,\quad \frac{\mathrm dy}{\mathrm d\theta}=r'(\theta)\sin\theta+r(\theta)\cos\theta \quad\text{et}\quad \left(\frac{\mathrm dx}{\mathrm d\theta}\right)ˆ2 + \left(\frac{\mathrm dy}{\mathrm d\theta}\right)ˆ2 = r'(\theta)ˆ2 + r(\theta)ˆ2

Ce qui permet d'établir la formule :

L=\int_aˆb \sqrt{r'(\theta)ˆ2 + r(\theta)ˆ2} \;\mathrm d\theta\;

En dimension 3 et sous les mêmes hypothèses, la formule prend la forme :

L = \int_aˆb \sqrt {\left(\frac {dx}{dt}\right)ˆ2 + \left(\frac {dy}{dt}\right)ˆ2 + \left(\frac {dz}{dt}\right)ˆ2}\mathrm d t

Exemples

Courbe de la chaînette pour a=2

Au XVIIe siècle, le problème de la rectification d'un arc est à la pointe de la recherche. Sans les outils du calcul différentiel, ces questions demandent une grande imagination pour y répondre. Elles deviennent bien plus aisées une fois connue la dérivée et sa relation avec l'intégrale. Un exemple est celui de la chaînette, courbe plane qui correspond à la forme que prend un câble quand il est suspendu par ses extrémités et soumis à son propre poids. Il est résolu en 1691 à la fois par Leibniz, Huygens et les frères Bernoulli[13]. Si ch sert à désigner le cosinus hyperbolique et si a sert à désigner un réel strictement positif, son équation est la suivante :

y = a \cdot \operatorname{ch}\left( \frac xa \right) = \frac a2 \cdot \left(\exp \left(\frac xa\right) + \exp \left(-\frac xa\right) \right)

La longueur L0 de la chaînette entre le point d'abscisse 0 et celui d'abscisse x0 est donnée par la formule, si sh sert à désigner le sinus hyperbolique :

L_0 = a\cdot \operatorname{sh}\left( \frac {x_0}a \right)\;
Spirale logarithmique

Le calcul de la longueur d'une spirale logarithmique est en premier lieu déterminé sans l'usage du calcul différentiel. Son usage permet une résolution du problème de manière particulièrement simple, en particulier si le paramétrage proposé est polaire si a est un réel strictement positif et b est strictement supérieur à 1 :

\rho(\theta) = a\cdot bˆ\theta \;

La longueur Lθ de la spirale entre le point origine et celui d'angle θ, qui peut être supérieur à 2. π, est donnée par la formule suivante :

L_{\theta} = \sqrt { 1 + \ln (b)ˆ{-2}} \cdot \rho(\theta)
Paraboles de Neil pour différentes valeurs de a.

Un autre calcul est d'importance historique, celui de la parabole de Neil, qui correspond à la courbe d'équation y = ±a. x3/2, si a est un entier strictement positif. Sa rectification est réalisée avant la découverte du calcul différentiel. La nouveauté apportée réside dans le fait que, si L0 sert à désigner la longueur de la partie positive de la branche localisée entre 0 et x0, le résultat intermédiaire suivant est utilisé :

 L_0 = \int_0ˆ{x_0} \sqrt {1 + \frac{9aˆ2}4 x} \; \mathrm d x

Une question de rectification est finalement liée à un problème de quadrature, c'est-à-dire au calcul d'une surface, base de la définition utilisée dans ce paragraphe. Au final, on trouve :

 L_0 = \frac {(4 +  9aˆ2x_0)ˆ{\frac 32} - 8}{27aˆ2}

Cette démarche sert à résoudre le problème de la rectification de la parabole. Si on choisit le paramétrage suivant y = a. x2, avec a un réel strictement positif, la longueur L0 de la branche localisée entre 0 et x0 s'exprime sous la forme d'une quadrature d'hyperbole, qu'on sait réaliser déjà depuis plus de 20 ans :

 L_0 = \frac 1{4a}\cdot \left(\mu\sqrt {\muˆ2 + 1} + \ln (\mu + \sqrt {\muˆ2 + 1}) \right)\quad\text{avec}\quad \mu = 2a x_0

Si l'approche par la vitesse sert à résoudre facilement la question de la longueur de l'arche d'une cycloïde, égale à 8 fois le rayon du cercle, un problème en apparence aussi simple que de calculer la circonférence de l'ellipse suivant les demi-axes conduit à des intégrales qu'on ne peut pas expliciter plus avant : on parle d'intégrales elliptiques de seconde espèce.

Les calculs sont analogues en dimension 3. L'article Loxodromie explicite un exemple.

Géométrie différentielle

Principe de Fermat

Article détaillé : principe de Fermat.
Le maître nageur, localisé sur une plage en A1, doit éviter une noyade localisée en A2 dans la mer. Il doit pour cela trouver le point M tel que le chemin le plus rapide pour lui soit composé du segment A1M puis MA2, dépendant du rapport de sa vitesse sur la plage et celle dans l'eau.
Les lois de Descartes peuvent se lire comme l'ajout d'un nouvel espace métrique.

Pierre de Fermat est un des précurseurs du calcul différentiel, avant Leibniz et Newton. Il propose une astucieuse interprétation des lois de Snell-Descartes dans une lettre[14] de 1662 et adressée à Marin Cureau de la Chambre, désormais célèbre. Fermat décrit un principe particulièrement général : «... la nature agit toujours par les voies les plus courtes. [15]» qui implique les règles de propagation de la lumière pour l'optique géométrique.

L'intuition de Fermat est exacte. La vitesse de la lumière est plus lente dans l'eau ou dans du verre que dans le vide ou dans l'air. La trajectoire de la lumière est en conséquence fonction du rapport des vitesses de la lumière dans les deux milieux. Il est envisageable d'illustrer ce principe par le problème dit du maître nageur, représenté sur la figure de gauche. Un maître nageur, localisé au point A1 doit éviter une noyade en A2. Pour être le plus rapide envisageable, le maître-nageur doit trouver le point M localisé à la frontière entre la plage et la mer tel que courir de A1 à M, puis nager de M à A2, soit le plus trajet le plus rapide. Comme il court plus vite qu'il ne nage, le point M se trouve obligatoirement plus proche de A2 que le point du segment A1A2 à la frontière de la plage et de la mer.

Une autre manière de modéliser cette question est d'équiper l'espace d'une nouvelle distance d2, associée à la vitesse de déplacement de la lumière ou de celle du maître-nageur. La distance entre deux points est donnée par le temps indispensable pour aller d'un point à un autre. Si C est un arc géométrique de paramétrage (I, f), et nA le rapport entre la vitesse du maitre nageur sur la plage et celle au point A, la longueur de l'arc C s'exprime par :

L_C=\int_I n_{f(t)}\cdot \left\|\frac {df}{dt}\right\|\;  \mathrm dt

C'est désormais la longueur d'un arc qui sert à définir la distance d2 : la distance entre deux points est la plus petite longueur d'un arc reliant ces deux points. La figure de droite illustre la géométrie de l'espace, vue avec les deux distances. L'espace équipé de la distance d2 est illustré en haut. Les trajectoires les plus courtes pour le maitre nageur sont les droites représentées en vert, et les points à égale distance de sa position sont les arcs de cercle, en rouge sur la plage et en bleu dans la mer. Cette même figure est reproduite sur la figure du bas, cette fois avec la distance usuelle. Comme le maître nageur est moins rapide dans l'eau, les portions de cercles dans la mer sont écrasées. Ce tassement déforme les portions de droites vertes qui se trouvent dans l'eau. Les angles obtenus, entre un segment vert sur la plage et son prolongement dans l'eau, suivent les lois de Descartes. [16]

Principe de moindre action

Article détaillé : principe de moindre action.
En mécanique, le principe de Fermat porte fréquemment le nom de principe de moindre action. Il est illustré ici pour la résolution du problème brachistochrone.

L'expression utilisée par Fermat pour décrire son principe est habile. Rien n'indique, dans sa formulation, qu'il est limité à l'optique géométrique. L'avenir lui donne raison. Une question, déjà abordée par Galilée sans succès en 1638[17], consiste à trouver la courbe que doit emprunter un point matériel glissant sans frottement pour aller le plus rapidement envisageable d'un point A à un point B. Le point B est supposé se trouver à une altitude plus petite ou égale à celle du point A pour que la question ait une solution. Cette question porte le nom de problème brachistochrone. Elle est remis à l'honneur par Jean Bernoulli en 1696 et posée comme défi aux lecteurs du journal Acta Eruditorum[18].

Une solution consiste toujours à appliquer le principe de Fermat. Si la distance entre deux points A et B est mesurée par le temps indispensable pour aller du plus haut au plus bas, l'espace est cette fois dilaté de manière parabolique sur l'axe vertical. En effet, si on nomme 1 la longueur parcourue verticalement en 1 unité de temps, la longueur parcourue verticalement en 2 unités de temps est de 4, puis celle parcourue en 3 est de 9 etc... Résoudre le problème brachistrochrone revient à trouver les lois de passage entre l'espace mesuré par la vitesse du point matériel et celui mesuré de la manière usuelle. La réponse est illustrée sur la figure de droite. Comme auparavant la figure du dessus représente l'espace mesurée avec la distance d2, correspondant à la vitesse du point matériel. On considère les trajectoires, vues avec la distance d2 comme des demis droites issues d'un même point, où la vitesse du point est originellement nulle. Ces demi-droites sont régulièrement espacées d'un angle de π/8 sur la figure. En rouge sont indiquées les positions envisageables du point au bout d'un temps fixe et régulier, 1, 2, 3 et 4 secondes. Les courbes rouges correspondent à ce qu'on nomme habituellement des demi-cercles.

Cette même figure, vue avec la distance usuelle est illustrée sous la première. Elle est légèrement plus complexe à lire que celle correspondant à la géométrie précédente. Le plus simple est de commencer par la ligne verte numérotée 1. Elle correspond à un déplacement horizontal. Comme le point matériel possède une vitesse d'origine nulle, son déplacement est nul et la droite est transformé en un point, noté 1 sur la figure du bas. La trajectoire noire correspond à une courbe dont la tangente d'origine est verticale. Il n'existe pas une courbe envisageable, mais une illimitété, dont deux sont illustrées sur la figure du bas, en noir. Ces courbes correspondent à des arches complètes de cycloïde. Toute arche de cycloïde de point d'origine celui de la figure correspond à une droite de tangente d'origine verticale avec la distance d2. Cette situation est analogue pour l'image de l'ensemble des demi-droites vertes de la figure supérieure. Ainsi, la demi-droite numéroté 2 correspond à une portion de cycloïde illustrée sur la partie basse de la figure, et toute homothétie de cette portion de cycloïde correspond aussi à une image de la demi-droite 2.

La technique utilisée pour résoudre le problème brachistochrone est de même nature que celle du paragraphe précédent en optique. On cherche l'arc le plus court pour une distance bien choisie. Le principe de Fermat prend quelquefois le nom de principe de moindre action, que Maupertuis redécouvre et décrit ainsi : «L'Action est proportionnelle au produit de la masse par la vitesse et par l'espace. Maintenant, voici ce principe, si sage, si digne de l'Être suprême : quand il arrive quelque changement dans la Nature, la quantité d'Action employée pour ce changement est toujours la plus petite qu'il soit envisageable. [19]»

Variété riemannienne

Article détaillé : Variété riemannienne.
La définition de Riemann de la longueur d'un arc est le fondement d'une nouvelle manière de définir la distance.

Dans l'exemple du problème brachistochrone, l'équivalent de l'indice de réfraction correspond un facteur de compression de l'espace, à l'image de l'exemple d'optique. Comme ici l'espace a plutôt tendance à se dilater, l'indice est rapidement compris entre 0 et 1. Il est exactement égal à (2gh) -1/2 si h est l'altitude, compté négativement. Pour résoudre l'équation différentielle de Newton, indiquant la trajectoire des planètes, la même méthode s'applique avec un cœfficient cette fois ci, égal à a/h. Les calculs sont légèrement plus simples et les arches de cycloïdes sont transformées en demi-cercles.

Une surface ayant en un point une courbure négative, ressemble localement à une selle de cheval.

Si Bernhard Riemann, un élève de Gauss s'intéresse suffisamment à cette question pour en faire son sujet de thèse[20], ce n'est pas pour proposer une nouvelle méthode de résolution d'une célèbre équation différentielle, mais pour mieux comprendre la géométrie. Si on retire les points d'altitude 0 (un point d'altitude 0 est en effet à une distance non nulle de lui-même, ce qui ne fait guère sens), on obtient un espace métrique. Pour définir cette métrique, on débute par une nouvelle définition de la longueur LC d'un arc C de l'espace G qui, s'il est paramétré par (I, f) vaut dans le cas spécifique étudié :

L_C = \int_I \left\|\frac {df}{dt}\right\| \mathrm d t \quad\text{avec}\quad \forall p \in G,\;\forall u \in \mathcal T_p  \quad \|p\| = n_p\|u\|

Chaque point p de G possède un espace tangent Tp, pourvu d'un produit scalaire et par conséquent d'une norme. Dans le cas spécifique du paragraphe, la norme est celle du plan, que multiplie le facteur de compression np proportionnel à l'inverse de l'altitude de p. La définition de la longueur d'un arc permet ensuite de définir la distance entre deux points. Elle est égale à la longueur du plus petit arc reliant ces deux points.

Qualitativement, l'espace qu'on vient de définir ressemble légèrement à la figure de droite. Le formalisme de Riemann, consistant à en premier lieu définir la longueur d'un arc puis la distance, est finalement particulièrement puissant. Il sert à définir un large ensemble de géométries, dans lequel les concepts classiques comme les droites (qui prennent le nom de géodésiques) les cercles ou les courbures s'étendent. Cette méthode sert à définir des surfaces qui n'existent pas en dimension 3. Celle reconnue dans ce paragraphe possède une courbure constante négative. La courbure en un point p correspond au produit des deux courbures les plus extrêmes que peuvent prendre les arcs paramétrés avec une abscisse curviligne au point p. Si les deux cercles osculateurs se trouvent sur un ellipsoïde, on parle de courbure positive. s'ils se trouvent sur une selle de cheval, on parle de courbure négative. Aucune surface en dimension 3 ne possède de courbure négative constante, raison pour laquelle la géométrie décrite dans ce paragraphe n'est pas précisément celle de la figure de droite. [21]

Calcul des variations

Article détaillé : Calcul des variations.

Les trois paragraphes qui ont précédé ont un point commun, pour être opérationnel, ils nécessitent la capacité de trouver le plus court chemin entre deux points d'une surface ou d'une géométrie spécifique, ce qui n'est pas, généralement une question facile.

Un optimum possède un gradient nul.
L'équation d'Euler-Lagrange détermine le gradient qui, à un espace de courbes associe sa longueur.

La méthode la plus fructueuse ressemble à celle de la géométrie différentielle. En dimension finie, et sous les bonnes hypothèses, un point optimal possède une approximation linéaire tangente plate, illustrée sur la figure de gauche. En terme mathématiques, cela veut dire que le gradient de la fonction à optimiser est nul sur un point extrémal.

C'est une méthode de cette nature qu'utilise Bernoulli pour résoudre le problème brachistochrone. Elle est illustrée sur la figure de droite, une petite variation autour du chemin optimal ne change pas sa longueur, au premier ordre. Ainsi le chemin proche de l'optimal, illustré en vert, est au premier ordre, de même longueur que la courbe optimale, illustrée en gris. Leonhard Euler affine la méthode et propose une première démonstration de la résolution du problème isopérimétrique[22] consistant à trouver l'arc fermé d'une longueur donnée et enserrant une surface de plus grande aire envisageable (La démonstration d'Euler est proposée dans l'article Multiplicateur de Lagrange). En 1755 Lagrange écrit une lettre à Euler. Elle porte sur le calcul de la courbe tautochrone, correspondant à une question analogue au problème brachistochrone[23]. Cette correspondance est le début d'un long un travail commun et permet d'établir l'équation d'Euler-Lagrange, une méthode particulièrement générale pour trouver les géodésiques.

Si l'équation d'Euler-Lagrange est suffisante pour résoudre le problème tautochrone, il est quelquefois indispensable de l'enrichir, par exemple pour trouver la courbe de la chaînette, c'est-à-dire la position qu'occupe au repos un câble de masse linéaire constante, soumis à la gravité. La méthode est enrichie par celle du multiplicateur de Lagrange.

Les mathématiques du XVIIIe siècle sont toujours insuffisantes pour démontrer rigoureusement la pertinence des calculs d'Euler et de Lagrange. Leur connaissance en analyse fonctionnelle est toujours bien trop limitée. Ces méthodes, qui prennent le nom de calcul des variations, deviennent vraiment rigoureuses sous l'influence de Karl Weierstrass au XIXe siècle et en particulier les travaux de Banach et Sobolev au XXe siècle.

Espace de Sobolev

Posons la question en termes flous : deux courbes «proches» ont-elles des longueurs voisines ?

Voici un exemple négatif. On prend le graphe de la fonction constante égale à 0 sur [0, 1]. Ce dernier est de longueur 1. On produit aisément une suite de fonctions continues sur [0, 1], rectifiables, qui converge uniformément vers f et dont la longueur ne converge pas vers 1.

Par exemple : f1 est une fonction triangle avec des pentes 1 sur [0, 1/2] et -1 sur [1/2, 1]. Puis f2 est une fonction constituée de deux triangles, avec des pentes 1 sur [0, 1/4], -1 sur [1/4, 1/2], 1 sur [1/2, 3/4], -1 sur [3/4, 1], et ainsi de suite (4, 8, 16 triangles, ... ). Chacune des fonctions fn a un graphe de longueur \sqrt{2}, et d'autre part il y a bien convergence uniforme vers f.

Pour obtenir des résultats de continuité pour l'application «longueur», il ne faut par conséquent pas travailler avec la norme de la convergence uniforme. Il faudrait plutôt une norme du type de celles des espaces de Sobolev.

Définition de Jordan

Motivation

Pendant 150 ans, la définition du XVIIe siècle remplit les besoins des mathématiciens, au besoin avec la généralisation de Riemann. Toujours désormais, il n'est pas rare qu'elle soit utilisée[24] lorsque le sujet se limite à de la géométrie différentielle. Durant la seconde moitié du XIXe siècle, de nouvelles questions imposent une approche plus générale.

Les courbes étudiées ne possèdent plus toujours une origine particulièrement mécanique ou cinématique mais proviennent aussi d'autres branches des mathématiques. Giuseppe Peano découvre[25] la courbe qui porte désormais son nom et qui recouvre totalement la surface d'un carré de côté 1. Hermann Minkowski utilise des convexes pour résoudre des questions de théorie algébrique des nombres[26]. Les frontières de ces convexes, s'ils sont dans un plan euclidien, peuvent quelquefois être paramétrées comme des arcs.

Il est envisageable d'approximer aussi exactement que souhaité la longueur d'un arc par une ligne polygonale, si cette longueur est finie.

Camille Jordan est un précurseur dans l'étude des courbes du plan euclidien ayant une autre origine que cinématique. Il essaie de résoudre certaines questions apparemment anodines comme celle du théorème portant son nom, ce résultat traite d'une courbe fermé et simple. Fermé veut dire que l'image des extrémités du segment de définition sont confondues et simple que l'unique point double est l'extrémité. Une telle courbe sépare le plan en deux parties connexes, l'intérieur et l'extérieur de la courbe.

Pour supporter un tel développement, il est indispensable de ne pas se limiter aux arcs géométriques de classe C1. Jordan propose une nouvelle définition de la longueur[27] fondée sur une démarche plus proche de celle d'Archimède que des analystes du XVIIe siècle. Une méthode intuitive pour comprendre sa logique consiste à poser une corde le plus exactement envisageable sur l'arc qu'on désire mesurer. Pour pouvoir facilement calculer la longueur de la corde, on lui impose de suivre un trajet polygonal. On punaise les sommets de la corde sur l'arc étudié, de telle manière à ce que les punaises se succèdent, comme sur la figure de droite. En ajoutant de plus en plus de punaises, on impose à la corde de suivre de plus en plus exactement l'arc. Une fois accrochée une illimitété de punaises régulièrement espacées on obtient la longueur recherchée. Si cette approche possède l'avantage d'être pertinente, même dans le cas d'un arc non dérivable, donner un sens rigoureux à l'idée d'une illimitété de punaises régulièrement espacées serait légèrement délicat. Jordan propose plutôt la limite supérieure des longueurs des différentes cordes imaginables, attachées avec un nombre fini de punaises. Cette démarche allie la rigueur avec une généralisation de la longueur aux arcs non obligatoirement dérivables.

Par delà le fait de pouvoir traiter des courbes non dérivables, de nouvelles méthodes deviennent utilisables qui ne l'étaient pas avec la définition précédente. Un exemple est donné avec le théorème isopérimétrique. Ce théorème stipule que toute surface possède une aire plus petite que celle du disque de même périmètre. Certaines démonstrations, présentées dans l'article sur cette question, nécessitent la définition de longueur au sens de Jordan.

Approche formelle

La totalité d'arrivée n'est désormais plus obligatoirement euclidien, (E, d) sert à désigner dans ce paragraphe un espace métrique et I toujours un intervalle de R. Le couple (I, f) est un arc, c'est-à-dire une fonction continue de I dans E. La logique suivie pour la définition est proche de celle utilisée pour l'intégrale de Riemann. Soit S une suite finie a0, ..., an strictement croissante d'éléments de I. Pour une raison de commodité, une telle suite est nommée ici un découpage de l'intervalle I.

A la suite S on peut associer la longueur L (S), définie par :

L(S) = \sum_{i=1}ˆ{n} d\left(f(a_{i-1}),f(a_i)\right)
Un arc n'est pas forcément rectifiable, cette figure illustre un contre-exemple.

La valeur L (S) est nommée ici longueur de la ligne polygonale de sommets les images de la suite S par f. L'inégalité triangulaire impose de définir la longueur de l'arc C comme supérieure à celle d'une ligne polygonale associée à un découpage de I. La ligne droite que suit la ligne polygonale entre deux sommets consécutifs est en effet le chemin le plus rapide entre ces deux points et passer par la courbe C est obligatoirement plus long. Par contre, si le découpage est particulièrement précis, on peut espérer obtenir une bonne approximation de la longueur de C, ce qui justifie la définition suivante :

  • La longueur de l'arc C est la limite supérieure de la totalité des valeurs que prennent les longueurs des lignes polygonales de sommets les images d'un découpage de l'intervalle I[28].

Une telle définition n'impose pas à la longueur d'être finie. Par exemple une droite est de longueur illimitée. Des contre-exemples moins triviaux sont donnés par la figure de droite ou encore la courbe de Peano, qui est continue mais nulle part dérivable, et dont l'image du segment [0, 1] est la totalité des points d'un carré de côté 1. Ceci donne lieu à la définition suivante :

  • Un arc est dit rectifiable si et uniquement si sa longueur est finie.

Propriétés

  • La longueur d'un arc géométrique est supérieure à la distance qui sépare les extrémités, si elles existent.

Cette proposition n'est que la généralisation de l'inégalité triangulaire. Dans un espace euclidien, la trajectoire la plus courte entre deux points est le segment de droite. Tout support d'arc géométrique d'extrémités ces deux points est obligatoirement plus long. Cette proposition n'a d'intérêt que si les deux extrémités ne sont pas confondues, comme par exemple pour le cercle.

  • La longueur de deux supports géométriques d'arcs qui partagent une extrémité est la somme des longueurs des deux supports.

Cette proposition est toujours particulièrement intuitive. Suivre une route qui va de A à B, puis continuer jusqu'à un point C représente la même longueur que suivre la même route pour aller de A à C.

La fonction qui à un arc associe sa longueur n'est pas continue.
En revanche elle est continue semi-inférieurement.
  • Une homothétie d'un rapport k (qui suppose que la totalité d'arrivé dispose d'une multiplication externe, comme un espace vectoriel) appliquée un arc géométrique, accroit la longueur de l'arc d'un rapport k, si la distance est issue d'une norme.

Une dernière propriété est utile pour assurer la cohérence de la définition de longueur. Ici E sert à désigner à nouveau un espace euclidien :

  • Soit (I, f) un arc paramétré de classe C1 rectifiable. L'intégrale de la norme de la dérivée de f sur l'intervalle I est convergente et la longueur L de l'arc (I, f) au sens de Jordan est égale à celle définie par l'intégrale de la norme de sa dérivée.
L = \int_I \left\|\frac {df}{dt}\right\| \mathrm d t

Les arcs paramétrés rectifiable sur un espace E sont pourvus d'une distance naturelle, celle de la continuité uniforme. Il est naturel de s'interroger sur la continuité de la fonction qui, à un arc associe sa longueur. La figure de gauche montre que cette fonction n'est pas continue. En effet, dire qu'un arc, en rouge sur la figure, est proche d'un autre, le cercle bleu sur la figure, veut dire que l'arc se trouve dans une espèce de tube, de petite largeur. La courbe en rouge montre qu'il est envisageable de construire une telle courbe qui oscille suffisamment pour avoir une longueur particulièrement différente. Par contre, si la courbe rouge est proche de la bleue, sa longueur ne peut être bien plus petite que la bleue. Celle de plus petite longueur est illustrée à droite en vert. On parle de semi-continuité inférieure.

  • La fonction longueur de la totalité des arcs paramétrés rectifiables d'un espace métrique E dans R, pourvus de la norme de la convergence uniforme, qui à un arc associe sa longueur, est semi-continue inférieurement.

Contenu de Minkowski

Motivation

Un lampion peut posséder une surface plus grande que celle du cylindre qui le circonscrit.

Minkowski s'intéresse en particulier aux courbes fermés et simples car elles définissent une frontière d'un espace compact dans le plan euclidien. Les résultats qu'il établit sont spécifiquement intéressants s'il peut les généraliser aux dimensions supérieures.

Les outils issus de la géométrie différentielle ne sont pas forcément particulièrement adaptés pour cela. Un exemple est donné par le théorème isopérimétrique, dans le cas général on cherche à démontrer un solide d'un espace euclidien de dimension n possède un volume plus petit que celui de la boule de même surface. Le terme de boule de rayon r sert à désigner la totalité des points à une distance inférieure à r d'un point donné nommé centre. Il n'est pas trop complexe de montrer que la courbure moyenne en chaque point d'une surface, frontière d'un solide qui atteint l'optimum isopérimétrique, est obligatoirement constante. En dimension 2, il est particulièrement simple de montrer que l'unique courbe simple et fermé de courbure moyenne constante est le cercle, une démonstration naturelle est l'œuvre d'Hurwitz et utilise l'inégalité de Wirtinger[30]. En dimension 3, la démonstration est connue, mais elle est suffisamment technique[31] pour ne dater que du début du XXe siècle. Le cas général n'est toujours pas démontré[32].

Le contenu 1 dimensionnel d'un lacet simple correspond à longueur de l'arc, au sens de Jordan.

La définition de Jordan pour la longueur d'une courbe n'est pas adaptée non plus car elle ne se généralise pas directement aux dimensions supérieures. La généralisation naturelle consisterait à définir l'aire de la surface d'une portion de cylindre comme la limite supérieure de la surface d'un polyèdre dont les sommets se trouveraient sur la frontière du cylindre. L'exemple sur la droite illustre l'inconsistance d'une telle généralisation. le polyèdre utilisé est un lampion dont les sommets sont localisés sur des hexagones parallèles, chaque fois décalés d'un douzième de tour. Si les plans des hexagones se rapprochent de plus en plus, la surface du polyèdre augmente jusqu'à l'infini[33].

Minkowski trouve une solution pour définir la longueur d'un arc qui résiste au passage à une dimension supérieure. Son approche intuitive est différente de celles reconnues jusqu'ici. Il ne s'appuie pas comme Jordan sur la longueur d'une ligne polygonale, mais directement sur la fonction volume de l'espace euclidien de dimension n. Cette fonction est généralement définie par la mesure de Lebesgue. Pour une valeur ε, suffisamment petite, Il considère les points à une distance inférieure à ε de la courbe C qu'il étudie. Il obtient un ensemble, illustré en rose sur un exemple en dimension 2 sur la figure de gauche, la courbe C est représentée en bleu. Un tel ensemble est nommé un tube.

Si la valeur ε diminue, le volume du tube se rapproche du produit de la longueur de l'arc par le volume de la boule de dimension n - 1 et de rayon ε. Dans le cas du cercle de rayon r et en dimension 2, le tube est constitué de la zone de l'espace compris entre un cercle de rayon r + ε et un autre de même centre et de rayon r - ε. Son volume est précisément 2π. r que multiplie 2ε. En dimension 3, le tube est un tore, une fois toujours son volume est précisément le produit de 2π. r par la surface d'un disque de rayon ε. Cette définition, si elle est légèrement plus complexe à mettre en œuvre, se généralise facilement aux dimensions supérieures.

Formalisme

Minkowski, avec Hausdorff, développent des outils servant à mieux appréhender l'étude général des solides. La totalité étudié est celui des compacts non vides d'un espace euclidien E, de dimension n. La somme de Minkowski associent à deux ensembles A et B le solide A + B composé des sommes d'éléments de A et de B. Cet ensemble est équipé d'une distance, dite de distance de Hausdorff. Le tube étudié correspond à la somme d'un compact C, correspondant à la courbe dont on souhaite mesurer la longueur et de la boule de rayon ε, il est noté ici Cε.

Si la courbe C est simple et fermée et de classe C2, alors le volume du tube Vol (Cε) s'exprime selon la longueur LC de l'arc C et du volume Vol (Bn-1 (ε) ) de la boule d'un espace euclidien de dimension n - 1 et de rayon ε, ceci à condition que ε reste suffisamment petit :

 \operatorname{Vol}(C_{\epsilon}) = L_C\cdot \operatorname{Vol}(B_{n-1}(\epsilon))

Si la courbe n'est pas fermée, l'égalité reste vraie si on ajoute le volume d'une boule de rayon ε en dimension n. En effet, deux demi boules vont s'ajouter, chacune à l'une des extrémités de la courbe, on obtient :

 \operatorname{Vol}(T_{\epsilon}) = L_C\cdot \operatorname{Vol}(B_{n-1}(\epsilon)) + \operatorname{Vol}(B_{n}(\epsilon))

Quelle que soit la configuration précédente, on obtient une nouvelle manière de définir la longueur d'un arc[34] :

  • Le contenu 1 dimensionnel d'un ensemble C d'un espace euclidien de dimension n, noté M1 (C), est la limite suivante, lorsqu'elle existe :
M_1(C) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac {\operatorname{Vol} (T_{\epsilon})}{\operatorname{Vol}(B_{n-1}(\epsilon))}

Cette définition est bien une généralisation de la longueur définie auparavant :

  • Si C est la totalité d'arrivé d'un arc paramétré compact de classe C2, la longueur de C est égale à son contenu 1 dimensionnel.

Cette définition est spécifiquement pertinente dans le cas de l'étude de la longueur de la frontière d'une surface S compacte en dimension 2 de frontière C. Si la frontière est paramétrable par un arc de classe C2, on dispose du théorème suivant, nommé formule de Steiner-Minkowski :

  • La longueur LC de l'arc C est égale à la limite suivante :
L_C = \lim_{\epsilon \to 0} \frac {\operatorname{Vol} (S + B_2(\epsilon))}{\operatorname{Vol} (S)}

Le contenu de Minkowski sert à généraliser à de nombreuses surfaces cette formule.

Courbe fractale

Article détaillé : Dimension de Hausdorff.
La courbe de Péano possède une image mesurable, mais cette mesure correspond à celle d'une surface.
L'attracteur de Lorenz n'est ni de dimension 1, ni de dimension 2.

Dès 1872, Karl Weierstrass montre qu'une courbe peut avoir un comportement étrange, il construit un exemple d'arc, par définition continu, et nulle part différentiable. Plus tard, Péano construit sa courbe, dont l'image est la totalité des points d'un carré de côté 1. En 1904, le mathématicien suédois Koch trouve un exemple concret de courbe répondant au cahier des charges de Weierstrass, à travers un étrange flocon[36]. Tous ces exemples correspondent à ce qui est désormais nommé une fractale.

Cette famille de courbes, originellement reconnues comme légèrement pathologiques, s'avèrent essentiels pour une meilleure compréhension de certaines branches des mathématiques. L'étude d'un système dynamique comme celui de Lorenz porte sur une équation différentielle dont le comportement limite se situe à l'intérieur d'une zone géométrique définie par une telle courbe (pour être plus précis, la zone correspond à l'adhérence d'une telle courbe) [37].

Pour l'analyse de telles courbes, un équivalent de la longueur s'avère indispensable. Or pour la courbe de Péano, la définition différentielle n'a pas de sens et celle de Jordan donne l'infini. Si le contenu 1 dimensionnel de Minkowski donne aussi l'infini, il n'est pas particulièrement compliqué de l'adapter pour trouver une réponse qui fait sens. Si P sert à désigner la totalité d'arrivé de la courbe de Péano :

M_2(C) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac {Vol (P_{\epsilon})}{Vol(B_{n-2}(\epsilon))}

Ici, Pε sert à désigner la totalité des points à distance inférieure de ε de P. L'astuce a consisté à diviser le rapport, non pas par le volume d'une boule n - 1 dimensionnel, mais n - 2 dimensionnel. Pour une nappe de classe C2 et de dimension 2, le contenu correspond à la mesure de la surface. Pour l'attracteur de Lorenz ou le flocon de Koch, aucun entier k ne sert à définir un contenu n - k dimensionnelle qui ne soit ni 0 ni l'infini. Par contre, il est envisageable d'utiliser une définition du volume d'une boule de dimension ζ qui fasse sens, même si ζ n'est pas un entier :

Vol (B_{\zeta}(\epsilon)) = \frac{2 \piˆ{\zeta / 2}}{\zeta \cdot \Gamma (\zeta / 2)}\epsilonˆ{\zeta}

Ici Γ sert à désigner la fonction gamma. Le contenu de Minkowski se généralise ainsi à des dimensions non entières. Cette dimension, qui sert à donner un sens à la longueur d'un arc, est nommée dimension de Hausdorff.

Voir aussi

Notes

  1. Tablettes de Suse - voir par exemple π et √2 chez les babyloniens
  2. Archimède De la sphère et du cylindre - La mesure du cercle - Sur les conoïdes et les sphéroïdes, tome 1 Belles Lettres (2003) (ISBN 2251000240)
  3. Karine Chemla, Guo Shuchun, Neuf Chapitres. Le Classique de la Chine ancienne et ses commentaires. Édition critique. [détail des éditions], p144-147
  4. Torricelli Opere, III, p 368 p 477 : Lettres à Ricci de 1646 ainsi qu'à Cavalieri (1598-1647)
  5. J. W. P. Campbell Scientific Work of Christopher Wren site personnel d'un Docteur de Cambridge (2001)
  6. Voir par exemple : R. Ferreol J. Madonnet parabole semi-cubique Encyclopédie des formes mathématiques remarquables (2003)
  7. J. Wallis Tractatus duo Opera t 1 p551 (1659)
  8. ces preuves sont publiés par Van Shooten en 1659 dans la Géométrie de Descartes
  9. P. de Fermat Dissertatio de linearum curvarum cum lineis rectis comparatione Œuvres t1 p 211 (1660)
  10. Marcel Berger, Bernard Gostiaux, Géométrie différentielle : variétés, courbes et surfaces [détail des éditions] p 302
  11. Marcel Berger, Bernard Gostiaux, Géométrie différentielle : variétés, courbes et surfaces [détail des éditions] p 303
  12. Marcel Berger, Bernard Gostiaux, Géométrie différentielle : variétés, courbes et surfaces [détail des éditions] p 303
  13. G. W. Leibniz L'apparition du calcul différentiel Réédition Vrin (2000) p 203 (ISBN 2711609979)
  14. Fermat Lettre de Fermat à C. de la Chambre du Dimanche 1er janvier 1662 publiée dans Œuvres de Fermat, publiées par les soins de MM. Paul Tannery et Charles Henry sous les auspices du Ministère de l'instruction publique lire en pdf
  15. Fermat Œuvres de Fermat, publiées par les soins de MM. Paul Tannery et Charles Henry sous les auspices du Ministère de l'instruction publique p 458 lire en pdf
  16. Pour plus de détails, voir par exemple : J-P Pérez E Anterrieu Optique : Fondements et applications Dunod (7ième édition) (2004) (ISBN 2100484974)
  17. Galilée avait imaginé que la solution au problème brachistrochrone était le cercle : Galileo Galilei Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno à due nuove scienze Edité par Appresso gli elsevirii (1638)
  18. J J O'Connor E F Robertson The brachistochrone problem Site historique de l'Université de St Andrew (2002)
  19. P Maupertuis Accord de différentes lois de la nature texte original de 1744 édité dans Œuvres de Maupertuis Nouvelle édition Vol. IV pp 16-17 (1768)
  20. B. Riemann Sur les hypothèses sous-jacentes à la géométrie (Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen) publié par Dedekind dans Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen vol. 13, 1867 et accessible en anglais lire
  21. Pour plus de détails sur les variétés riemanniennes : M. Berger A Panoramic View of Riemannian Geometry Springer (2007) (ISBN 3540653171)
  22. J. Peiffer Euler : Variations autour d'une courbe Les cahiers de science et vie n° 68 (2002) pp 72-79
  23. F. Martin-Robine Histoire du principe de moindre action Vuibert (2006) (ISBN 978-2711771516)
  24. Dans un ouvrage de géométrie différentiel, la définition précédente est en effet idéalement suffisante : Marcel Berger, Bernard Gostiaux, Géométrie différentielle : variétés, courbes et surfaces [détail des éditions] p 315
  25. G. Peano Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane. Mathematische Annalen Vol 36 (1890) pp 157-160
  26. Hermann Minkowski, Geometrie der Zahlen, Teubner, Leipzig, 1896 ; republié par Johnson, New York, 1968
  27. C. Jordan Cours d'analyse de l'école polytechnique, 3 volumes Jacques Gabay première publication entre 1882 et 1887 (1991) (ISBN 2876470187)
  28. Cette définition est équivalente à celle de Marcel Berger, Bernard Gostiaux, Géométrie différentielle : variétés, courbes et surfaces [détail des éditions] p 314
  29. La démonstration présentée ici est un grand classique, on la trouve par exemple dans : J. Dixmier Cours de mathématiques du premier cycle Gauthier-Villars 1976 Chap 53 (ISBN 2040026878)
  30. A P Burton P Smith Isoperimetric inequalities and areas of projections in Rn Acta Mathematica Hungarica Vol 62, N° 3-4 (1993)
  31. H. Liebmann Über die Verbiegung der geschlossenen Flachen positiver Krümm Math. Ann. 53 pp 81-112 (1900)
  32. R. Osserman The isoperimetric inequality Bull. Amer. Math. Soc. Vol 84 (1978) p 1188
  33. Cet exemple est tiré de Marcel Berger, Bernard Gostiaux, Géométrie différentielle : variétés, courbes et surfaces [détail des éditions] p 226.
  34. On trouve cette définition dans : R. Osserman The isoperimetric inequality Bull. Amer. Math. Soc. Vol 84 (1978) p 1189
  35. La démonstration présentée ici s'inspire de celle du corollaire de : Marcel Berger, Bernard Gostiaux, Géométrie différentielle : variétés, courbes et surfaces [détail des éditions] p 254
  36. H Koch Une méthode géométrique élémentaire pour l'étude de certaines questions de la théorie des courbes planes. Acta Math n° 30 pp 145-174 (1906)
  37. (en) Edward N. Lorenz, «Deterministic Nonperiodic Flow», dans J. Atmos. Sci. , vol.  20, 1963, p.  130-141 texte intégral, lien DOI (pages consultées le 4 octobre 2010)  ] 

Liens externes

Références

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