Intégrale de surface

En mathématiques, une intégrale de surface est une intégrale définie sur toute une surface qui peut être courbe dans l'espace.



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Analyse vectorielle - Théorie de l'intégration - Aire - Grandeur physique - Métrologie

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En mathématiques, une intégrale de surface est une intégrale définie sur toute une surface qui peut être courbe dans l'espace. Pour une surface donnée, on peut intégrer sur un champ scalaire ou sur un champ vectoriel.

Les intégrales de surface ont de nombreuses applications dans la théorie classique de l'électromagnétisme.

Intégrale de surface sur un champ scalaire

Pour trouver une formule explicite de l'intégrale de surface, il faut le plus souvent paramétrer la surface S en question en considérant un système de coordonnées curvilignes, comme la longitude et la latitude sur une sphère. Une fois le paramétrage x (s, t) trouvé, où s et t fluctue dans une région du plan, l'intégrale de surface d'un champ scalaire est donnée par :

\int_S f \mathrm dS = \iint_T f\bigl(\mathbf{x}(s, t)\bigr) \left\|\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial s}\wedge\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial t}\right\|\;\mathrm ds\,\mathrm dt

De plus l'aire de S est donnée par :

\int_S \mathrm dS =\iint_T \left\|\frac{\partial \mathbf{x}} {\partial s}\wedge\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial t}\right\|\;\mathrm ds\,\mathrm dt .

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Principaux mots-clés de cette page : intégrale - surface - champ - donnée - scalaire - curvilignes - théorème -

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