Distance ultramétrique

En mathématiques, et plus exactement en topologie, une distance ultramétrique est une distance d sur un ensemble X vérifiant l'inégalité ultratriangulaire ...



Catégories :

Espace métrique - Distance et longueur - Grandeur physique - Métrologie - Distance remarquable

Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • Boules ultramétriques Une boule B (x, p) de la totalité E pourvu d'une distance... Toute distance ultramétrique est une distance métrique (c'est-à-dire que... (source : books.google)
  • Une distance ultramétrique est une application d'un ensemble E dans une...... Réciproquement, supposons que l'ensemble des familles de boules fermées de X... (source : toubkal.imist)
  • En topologie, une distance ultramétrique est une distance d sur un... Dans un espace ultramétrique, la boule fermée de centre x et de rayon non nul r est ... (source : dictionnaire.sensagent)

En mathématiques, et plus exactement en topologie, une distance ultramétrique est une distance d sur un ensemble X vérifiant l'inégalité ultratriangulaire :

d(x,z)\leq \max(d(x,y),d(y,z)).

Un espace métrique dont la distance vérifie cette propriété est dit ultramétrique.

Définition et exemples

Soit E un ensemble ; on nomme distance ultramétrique (sur E) une application d : \mathrm{E}\times \mathrm{E} \rightarrow \mathbb{R}ˆ+ vérifiant les propriétés suivantes :

Nom Propriété
symétrie \forall x,y\in \mathrm{E},\ d(x,y)=d(y,x)
séparation \forall x,y\in \mathrm{E},\ d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y
inégalité ultratriangulaire \forall x,y,z\in \mathrm{E},\ d(x,z)\leq \max(d(x,y),d(y,z))

Il est à noter que l'inégalité ultratriangulaire implique l'inégalité triangulaire \forall x,y,z\in \mathrm{E},\ d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z).

Distance triviale

Tout ensemble peut être pourvu de la distance dite triviale définie par :

d(x,y)= \begin{cases} 
0 & \mbox{si } x=y  \\ 
1 & \mbox{si } x \ne y \end{cases}

L'inégalité

d(x,z) \leq \max (d(x,y), d(y,z))

est vraie, que x soit égal à z ou non. Il s'agit par conséquent d'une distance ultramétrique.

Distance p-adique sur la totalité \Q

Pour un nombre premier p, on peut définir la valuation p-adique vp (r) de tout nombre rationnel r non nul. Voir : Nombre p-adique

On prouve aisément que cette application vérifie

v_{p}(r+r') \leq \inf (v_{p}(r), v_{p}(r')) et v_{p}(-r) = v_{p}(r)∼.

On définit alors la distance p-adique sur \Q par :

d(x,y)= \begin{cases} 
0 & \mbox{si } x=y  \\ 
pˆ{-v_{p}(x-y)} & \mbox{si } x \ne y \end{cases}

La première propriété précédente conduit aisément à

d(x,z) \leq \max (d(x,y), d(y,z))

ce qui implique aisément l'inégalité triangulaire, les autres vérifications étant aisées[1].

Il s'agit par conséquent bien d'une distance ultramétrique sur \Q.

Autres exemples

En génétique, la distance entre génotypes le long des branches d'un arbre phylogénétique peut être mesurée par une distance ultramétrique.

Propriétés

Voici quelques propriétés d'un espace ultramétrique, qui semblent aller contre l'intuition.

B(a,r)\, \cap B(a',r')\, \ne \empty\ {\rm et}\ r \leq r' \Rightarrow B(a,r)\, \subset B(a',r')\,

x \in B(a,r)\, \Rightarrow B(x,r)\, = B(a,r)\,

Toute boule fermée est ouverte. Toute boule ouverte est fermée.

d(x,y) \ne d(y,z) \Rightarrow d(x,z)= \max(d(x,y),d(y,z))

Voir aussi

Notes et références

  1. Jean-Luc Verley, Espaces métriques, dans Dictionnaire des mathématiques; algèbre, analyse, géométrie, éd. Albin Michel, pp. 652&653

Recherche sur Amazon (livres) :



Principaux mots-clés de cette page : boules - distance - ultramétrique - propriété - ouvertes - fermées - inégalité - espace - conséquent - adique - démonstration - nombre - aisément - point - ensemble - vérifiant - ultratriangulaire - métrique - première - précédente -

Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/Distance_ultram%C3%A9trique.
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 11/11/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.
Accueil Recherche Aller au contenuDébut page
ContactContact ImprimerImprimer liens d'évitement et raccourcis clavierAccessibilité
Aller au menu