Distance d'un point à un plan

Dans l'espace euclidien, la distance d'un point à un plan est la plus courte distance séparant ce point et un point du plan.



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Distance et longueur - Grandeur physique - Métrologie

Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • DM 7 - Distance d'un point à un plan. Page 1. G. COSTANTINI http ://bacamaths. net /. DEVOIR-MAISON N°7. Problème Calcul de la distance entre un point et une... (source : gilles.costantini.pagesperso-orange)
  • Distance d'un point à un plan (point et vecteur normal)... Calculer la distance de A au plan passant par B et de vecteur normal n :... (source : ilemaths)
  • Nous venons de le rappeler : la distance entre le point A et le plan P est la plus petite des distances AM où M est un point quelconque de P.... (source : tanopah.jo.free)

Dans l'espace euclidien, la distance d'un point à un plan est la plus courte distance séparant ce point et un point du plan. Le théorème de Pythagore permet d'affirmer que la distance du point A au plan (P) correspond à la distance séparant A de son projeté orthogonal H sur le plan (P).

Si l'espace est pourvu d'un repère orthonormal, les points peuvent être définis avec leurs coordonnées dites cartésiennes.

Soit le plan P et le point A dans l'espace. On nomme (xA, yA, zA) les coordonnées du point A et ax + by + cz + d = 0 l'équation représentative du plan P : alors la distance du point A au plan P, dA, P vaut :

d_{\mathrm{A}, \mathrm{P}} =\frac{\left| ax_\mathrm{A} + by_\mathrm{A} + cz_\mathrm{A} + d \right|}{\sqrt{aˆ2 + bˆ2 + cˆ2}}
Démonstration

Soit H (x, y, z ) le projeté orthogonal de A sur P et soit \vec n \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ \end{pmatrix} un vecteur normal à P.

On sait que les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AH}} et \vec n sont colinéaires, on peut par conséquent écrire :

\overrightarrow{\mathrm{AH}}=\lambda \cdot \vec n

Soit toujours


\begin{pmatrix} x-x_\mathrm{A} \\ y-y_\mathrm{A} \\ z-z_\mathrm{A} \\ \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ \end{pmatrix}

et \mathrm{H} \in \mathrm{P} donc

ax + by + cz + d = 0.

Ceci revient à résoudre le dispositif suivant :

\left \{ \begin{matrix}
x = \lambda a+x_\mathrm{A} \\
y = \lambda b+y_\mathrm{A} \\
z = \lambda c+z_\mathrm{A} \\
ax + by + cz + d = 0 
\end{matrix} \right .

La substitution de x, y et z dans la 4e équation par leurs valeurs obtenues dans les 3 premières permet d'écrire :

aa + xA) + bb + yA) + cc + zA) + d = 0.

Ou encore :

axA + byA + czA + d + λ (a2 + b2 + c2) = 0.

P étant un plan, a, b, c ne sont pas tous nuls : on a

\lambda = - \frac {ax_A+by_A+cz_A+d}{aˆ2+bˆ2+cˆ2}

Or, la distance de A à P n'est autre que la longueur du vecteur \overrightarrow{\mathrm{AH}}, donc :

d_{\mathrm{A}, \mathrm{P}} = \mathrm{AH} = \left| \lambda \right| \| \vec n  \|
 \Longrightarrow \ d_{\mathrm{A}, \mathrm{P}} = \left| \frac {-(ax_\mathrm{A} + by_\mathrm{A} + cz_\mathrm{A} + d)}{aˆ2+bˆ2+cˆ2} \right| \sqrt{aˆ2+bˆ2+cˆ2}
 \Longrightarrow \ d_{\mathrm{A},P}  =\frac{\left| ax_\mathrm{A} + by_\mathrm{A} + cz_\mathrm{A} + d \right|}{\sqrt{aˆ2 + bˆ2 + cˆ2}}

Ceci termine la preuve.

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