Angle

En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.

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Angle - Grandeur physique - Métrologie - Trigonométrie

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... Le cosinus de l'angle constitué entre 2 vecteurs est , par définition, ... 2 vecteurs), veut dire en fait que le vecteur B se déplace dans un plan (par exemple, ... (source : forums.futura-sciences)
Résumé sur les angles. 1 - Angles orientés de vecteurs du plan... Angles orientés de deux vecteurs non nuls ou de deux demi-droites... (source : cabri)
On se place dans un plan (P). On suppose connue les notions de vecteur du plan, d'angle élémentaire et de mesure en degrés.... (source : serge.mehl.free)

En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.

Dans son sens ancien, l'angle est une figure plane, portion de plan délimitée par deux droites sécantes. C'est ainsi qu'on parle des angles d'un polygone. Cependant, l'usage est désormais d'employer le terme «secteur angulaire» pour une telle figure. L'angle peut désigner aussi une portion de l'espace délimitée par deux plans (angle diédral). La mesure de tels angles porte fréquemment mais abusivement le nom d'angle elle aussi.

En un sens plus abstrait, l'angle est une classe d'équivalence, c'est-à-dire un ensemble obtenu en assimilant entre eux l'ensemble des angles-figures identifiables par isométrie. L'une quelconque des figures identifiées est alors nommée représentant de l'angle. Tous ces représentants ayant même mesure, on peut parler de mesure de l'angle abstrait.

Il est envisageable de définir une notion d'angle orienté en géométrie euclidienne du plan, mais aussi d'étendre la notion d'angle au cadre des espaces vectoriels préhilbertiens ou des variétés riemanniennes.

Le mot angle dérive du latin angulus, le coin.

L'angle comme figure du plan ou de l'espace

Secteur angulaire et angle

secteurs angulaires obtenus par intersection des demi-plans délimités par des droites sécantes

Un secteur angulaire est une figure plane obtenue par intersection ou réunion de deux demi-plans délimités par des droites sécantes ou confondues.

L'angle d'un secteur angulaire est le nombre réel positif qui mesure la proportion du plan occupée par le secteur angulaire. Les unités utilisées pour le quantifier sont le radian, le quadrant et ses subdivisions le degré, ses sous-unités et le grade. Les angles sont souvent notés par une lettre grecque minuscule, par exemple α, β, θ, ρ... Quand l'angle est au sommet d'un polygone et qu'il n'y a pas d'ambiguïté, on utilise alors le nom du sommet surmonté d'un chapeau, par exemple Â.

L'angle peut aussi s'interpréter comme l'ouverture du secteur angulaire, c'est-à-dire la «vitesse» à laquelle s'éloignent les droites l'une de l'autre quand on s'éloigne du point d'intersection. C'est la mesure de l'inclinaison d'une droite comparé à l'autre.

Valeur d'un angle

Définition des angles par la proportion d'une portion de disque centré sur l'intersection des droites

Pour évaluer cet angle, cette «proportion de surface», on prend un disque centré au point d'intersection, et on effectue le rapport entre l'aire de la portion de disque interceptée par le secteur angulaire et l'aire totale du disque. On peut montrer que cela revient aussi à faire le rapport entre la longueur de l'arc intercepté et la circonférence du cercle ; cette valeur inférieure à 1 est nommée nombre de tour. La valeur 1/4 (quart de tour) correspond au quadrant.

Une unité fréquemment utilisée est le degré, qui consiste à subdiviser le quadrant en 90 parts identiques. Le tour complet correspond par conséquent à 360 degrés. La minute d'arc est un sous-multiple du degré, égale à 1/60 de degré. De même, la seconde d'arc est égale à 1/60 de la minute d'arc, soit 1/3600 de degré. On utilise plus rarement le grade, qui correspond à une subdivision centésimale du quadrant.

Définition du radian, unité de mesure de l'angle

L'unité internationale de mesure des angles est cependant le radian, défini comme le rapport entre la longueur de l'arc intercepté et le rayon du cercle. Le tour complet correspond par conséquent à $2π$ radians.

Les angles peuvent être calculés à partir des longueurs des côtés de polygones, surtout de triangles, en utilisant la trigonométrie.

Occasionnellement, les angles sont exprimés par leur tangente. A titre d'exemple, une pente est exprimée en pourcent, c'est le nombre de mètres qu'on monte (ou descend) quand on parcourt 100 m comparé à l'horizontale ; si α est l'angle entre la droite de plus grande pente et l'horizontale, alors la pente en % est égale à 100×tan (α). En vol à voile (aéronautique), la finesse d'une voile est le nombre de mètres dont on descend quand on a parcouru 100 m horizontalement (en absence de vent) ; il s'agit aussi de cent fois la tangente de la pente.

L'unité de mesure des angles utilisée essentiellement par les militaires est le millième. Il est l'angle sous lequel on voit 1 mètre à 1 kilomètre. 6283 millièmes correspond à 2π radians ou 360 degrés, soit 360 °/arctan (1 m/1000m)

«Sur le terrain», les angles peuvent être mesurés avec un appareil nommé goniomètre ; il comporte généralement une règle courbe graduée en degrés, nommée rapporteur.

Nom des angles

Les angles correspondant à un nombre entier de quadrants portent un nom spécifique

*Valeur des angles spécifique dans les diverses unités*
angle	nombre de tour	nombre de quadrants	radians	degré	grade
angle plein	1 tour	4 quadrants	2π rad	360 °	400 gr
angle plat	1/2 tour	2 quadrants	π rad	180 °	200 gr
angle droit	1/4 de tour	1 quadrant	π/2 rad	90 °	100 gr
angle nul	0 tour	0 quadrant	0 rad	0 °	0 gr

L'angle droit est obtenu en considérant deux droites qui divisent le plan en quatre secteurs égaux. De telles droites sont dites «orthogonales» ou «perpendiculaires».

Définition des angles droit, plat, complémentaires et supplémentaires

Les qualificatifs suivant sont employés pour les angles prenant des valeurs intermédiaires entre ces valeurs remarquables

l'angle rentrant est un angle supérieur à l'angle plat ;
l'angle saillant est un angle inférieur à l'angle plat ;
un angle saillant est obtus quand il est supérieur à l'angle droit ;
il est aigu quand il est inférieur à l'angle droit.

Pour qualifier les valeurs relatives de deux angles, on emploie les expressions suivantes :

deux angles sont complémentaires lorsque leur somme fait 90 ° ; si deux angles sont complémentaires, chacun est dit être le complément de l'autre ;
deux angles sont supplémentaires lorsque leur somme fait 180 °.

On emploie toujours d'autres expressions pour qualifier la position des angles sur une figure, c'est-à-dire plus précisément, la position relative de secteurs angulaires.

Deux secteurs angulaires sont opposés par le sommet, quand ils ont le même sommet et que les côtés de l'un sont dans le prolongement de ceux de l'autre. Dans ce cas les angles correspondants sont égaux.
Deux secteurs angulaires sont adjacents quand ils ont le même sommet, un côté commun, et que leur intersection est égale à ce côté commun. Les angles s'ajoutent quand on considère la réunion de ces secteurs.
Les angles alternes-externes et les angles alternes-internes sont constitués par deux droites coupées par une sécante. Ces angles ont la même mesure quand les deux droites sont parallèles.

Remarque : deux angles complémentaires ou supplémentaires ne sont pas obligatoirement adjacents : A titre d'exemple, dans un triangle ABE rectangle en B, les angles Â et Ê sont complémentaires.

Par extension, on définit aussi les angles entre des demi-droites, des segments de droite et des vecteurs, en prolongeant les droites portant ces objets jusqu'à leur intersection. La définition par des demi-droites ou des vecteurs sert à lever l'indétermination entre les angles supplémentaires, c'est-à-dire de définir sans ambiguïté quel secteur angulaire utiliser pour définir l'inclinaison des directions.

Angle géométrique

Un angle géométrique est un objet mathématique pouvant être représenté par un secteur angulaire. On peut l'interpréter de plusieurs façons : divergence entre deux directions, directions des faces d'un objet (coin), direction visée comparé au nord (angle donné par une boussole) …

$\widehat{BAC}$ est un angle géométrique.

On a d'autre part :

$\widehat{BAC} = \widehat{CAB}$

On confond souvent «mesure de l'angle» et «angle». Ainsi par exemple un angle «plat» est nommé abusivement angle «égal» à 180.

Cet abus est appliqué beaucoup et volontairement dans la suite de cet article.

D'autre part un angle droit par exemple, peut être représenté par plusieurs secteurs angulaires différents, mais comme ils sont tous «superposables», ils représentent tous le même angle. En mathématiques on parle de «classe d'équivalence».

Ce problème se pose aussi quand on essaie de distinguer «fraction» et «rationnel».

Angles orientés dans le plan

Si le plan est orienté, alors les angles peuvent être positifs ou négatifs selon le sens dans lequel ils «tournent».

$(\vec{AB},\vec{AC})$ est un angle orienté.

Par convention, on oriente le plan dans le sens dit «trigonométrique», c'est-à-dire dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (ou «sens anti-horaire»). Si on considère deux demi-droites ou vecteurs, alors l'ordre dans lequel on cite les demi-droites ou les vecteurs définit le sens de l'angle, par conséquent son signe ; ainsi :

$(\widehat{\vec{u},\vec{v}}) = - (\widehat{\vec{v},\vec{u}})$

Angles orientés : l'orientation du plan sert à donner un signe à l'angle ; l'illustration souligne l'égalité en alpha et alpha-2π

Les angles sont définis à un nombre entier de tours près. Ainsi, le plan complet peut être défini par un tour complet dans le sens positif, deux tours complets dans le sens positif, un tour complet dans le sens négatif... En radians, on dit que les angles sont définis à 2π près («à deux pi près»). A titre d'exemple, si l'angle α est droit de sens direct, il est noté :

$\alpha = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$

ou bien

$\alpha \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]$

Cette dernière notation se lit : «alpha est congru à pi sur deux modulo deux pi».

On remarque surtout que pour deux demi-droites (ou deux vecteurs) données, le fait de choisir la «petite» ou la «grande» portion de plan importe peu, puisque α ≡ α - 2π (cf. illustration ci-dessus).

Angles orientés de vecteurs

Rotations vectorielles

Rappelons à leur sujet deux points cruciaux pour la suite :

Les isométries positives du plan sont celles des transformations préservant les longueurs dont le déterminant est 1. Ce sont les rotations vectorielles planes. Elles forment un sous-groupe SO (2) du groupe orthogonal O (2) du plan. SO (2) est commutatif comme U le groupe des nombres complexes de module 1, auquel il est isomorphe. L'exponentielle complexe permet alors de définir l'angle d'une rotation à $2\pi\,$ près.

Proposition. —Si u et v sont deux vecteurs unités différents, il existe une unique rotation f envoyant u sur v. D'où une bijection T : (u, v) → f entre couples de vecteurs unitaires et rotations. Les vecteurs colonne de f forment alors la base orthonormalisée de Gram-Schmidt de la base (u, u').

Un angle orienté de vecteurs est une classe d'équivalence

En disant que (u, v) R (u', v') s'il existe une rotation g telle que u'=g (u) et v'=g (v), on définit une relation d'équivalence R sur les couples de vecteurs unitaires. On nomme angle orienté de vecteurs les classes d'équivalence dans cette relation. En confondant abusivement un représentant et sa classe, on a par exemple : (-u, -v) = (u, v) par le demi-tour.

La bijection T : (u, v) → f «passe au quotient». Exactement :

Théorème — l'angle orienté de vecteurs est caractérisé seulement par la rotation associée. Formellement :

T (u, v) = T (u', v') si et uniquement si (u, v) R (u', v').

Démonstration

Notons v=f (u), v'=g (u'), s (u) =u'et t (v) =v'.

La rotation $gˆ{-1}tf\,$ envoie u sur u'. Elle est par conséquent égale à la rotation s par unicité. On a par conséquent tf = gs. Avec la commutativité de SO (2), on a f=g si et uniquement si s=t qui est l'équivalence cherchée. CQFD

Si f=T (u, v) est une rotation d'angle $\theta \,$ , on dira aussi que $\theta \,$ est une mesure de l'angle orienté de vecteurs (u, v). Pour être digne d'un tel nom, il manque à cette mesure le caractère additif. Avec les angles géométriques, on a des ennuis additifs lorsqu'il s sont trop grands ! Pour les angles orientés de vecteurs, il faut en premier lieu définir la somme...

Les angles orientés de vecteurs forment un groupe

Somme d'angles orientés

La somme est définie en tirant en arrière le long de la bijection T la composition dans SO (2). En confondant un représentant avec sa classe, cela donne :

$(u,v)+(z,t) :=Tˆ{-1} [T(u,v) \circ T(z,t)]$

Le groupe des angles orientés de vecteurs est commutatif, comme SO (2).

Avec T (u, v) oT (v, w) =T (u, w) on obtient pour les angles la relation de Chasles (u, v) + (v, w) = (u, w)

L'angle plein correspond à l'identité : (u, u) = 0

(v, u) + (u, v) = (v, v) = 0 et par conséquent (v, u) est l'opposé de (u, v)

L'angle plat est la moitié d'un plein : (-Id) o (-Id) = Id. L'angle plat s'écrit par conséquent (u, -u).

Il y a deux angles droits, solution de 2 (u, v) = (u, -u) ^[1]

Enfin une vraie mesure d'angles

La mesure d'un angle orienté de vecteurs est définie par :

$(u,v)\rightarrow \begin{bmatrix}\cos(\theta)&-\sin(\theta)\\ \sin(\theta)&\cos(\theta)\end{bmatrix} \rightarrow eˆ{i \theta} \rightarrow \theta$

C'est un morphisme du groupe des angles orientés dans le groupe $\mathbb R$ des réels pourvu de la somme modulo $2\pi \,$ ; ainsi la mesure des angles est enfin additive !

Effet des isométries sur les angles orientés de vecteurs

Les isométries positives conservent les angles orientés de vecteurs par construction.

Les réflexions orthogonales (isométries planes indirectes) renversent les angles orientés de vecteurs : si u et v sont deux vecteurs unitaires différents, la réflexion s_D d'axe D dirigé par u+v échange u et v et par conséquent (u, v) en son opposé (v, u). Toute réflexion s'obtient en composant s_D avec une rotation (on fait tourner l'axe) ; une telle réflexion renverse toujours l'angle (u, v)

Angles dans l'espace

Deux droites sécantes sont obligatoirement coplanaires, par conséquent l'angle entre les droites est défini dans ce plan, de la même manière que ci-dessus. Pour orienter le plan, on choisit un vecteur normal au plan : le plan est alors orienté dans le sens trigonométrique quand le vecteur normal pointe vers l'observateur. Si on a défini une base $(\vec{i},\vec{j})$ dans ce plan, alors on choisit pour vecteur normal $\vec{i}\wedge\vec{j}$ .

Orientation d'un plan par un vecteur normal

Pour définir l'angle entre deux plans, on considère l'angle que font leurs vecteurs normaux.

Pour définir l'angle entre un plan et une droite, on considère l'angle α entre la droite et sa projection orthogonale sur le plan, ou encore l'angle complémentaire entre la droite et la normale au plan : on retranche l'angle β entre la droite et la normale au plan de l'angle droit (α = π/2 - β en radians).

Pour définir l'angle entre deux droites quelconques de l'espace, on considère l'angle que font leurs vecteurs directeurs (dont le cosinus est égal au produit scalaire de ces vecteurs unitaires), ou encore l'angle planaire que fait une des deux droites avec une quelconque parallèle à l'autre qui la coupe. Cet angle est défini modulo les mêmes choix d'orientation évoqués ci-dessus.

On définit aussi les angles solides : on prend un point (quelquefois nommé «point d'observation») et une surface dans l'espace (la «surface observée»), l'angle solide est la proportion de l'espace délimitée par le cône ayant pour sommet le point reconnu et s'appuyant sur le contour de la surface. L'unité est le stéradian (sr en abrégé), l'espace complet fait 4π sr.

Usage

En géodésie (géographie)
- azimut : angle comparé à l'axe Nord-Sud sur un plan contenant cet axe et le point visé, compté comparé au Nord compté dans le sens des aiguilles d'une montre ;
- latitude : angle que fait une verticale partant d'un point et allant au centre de la terre comparé au plan de l'équateur ; les points ayant la même latitude forment un cercle^[2] nommé «parallèle»
- longitude : angle servant à se repérer sur Terre : angle que fait le plan contenant l'axe Nord-Sud et le point reconnu (appelé «plan méridien») avec un plan de référence contenant aussi l'axe Nord-Sud ; l'intersection d'un plan méridien avec la surface de la Terre est un demi grand-cercle ^[2] nommé méridien ; le méridien de référence est le méridien de Greenwich
- droite de hauteur : position d'un point calculé (comprenant azimuth et différence angulaire) comparé à un point estimé
En astronomie
- azimut (ou azimuth) : quand on vise un point depuis le centre de la Terre, angle comparé à l'axe Nord-Sud sur un plan contenant cet axe et le point visé, compté comparé au Sud
- diamètre apparent : angle sous lequel on voit un objet ou un astre
- distance zénithale : angle entre la verticale et le point visé
- hauteur : angle entre l'horizontale et le point visé
- parallaxe : angle constitué par le regard d'une personne qui fixe un point quelconque d'un objet et son changement de position
- nadir : angle droit vers le bas verticalement comparé au tour de l'horizon de l'observateur
- zénith : angle droit vers le haut verticalement comparé au tour de l'horizon de l'observateur

D'autre part, la notion d'angle sert à définir une unité de longueur, le parsec

En optique géométrique
- angle d'incidence : angle entre un vecteur et le vecteur de la surface, par exemple en réflexion et en réfraction, angle entre un rayon lumineux et la normale à la surface d'un dioptre
- parallaxe
En aérodynamique :
- angle d'attaque
- assiette
En balistique
- hausse
Angle mort

Michèle Audin, Géométrie, EDP Sciences, 2006, 3^e éd. (ISBN 2-86883-883-9) , p. 74
on suppose ici que la Terre est sphérique, ce qui n'est pas particulièrement vrai : sa forme générale est un peu aplatie aux deux pôles, et sa surface présente des aspérités (fosses océaniques, montagnes)

Voir aussi

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